8、求二重积分e^[-2(x^2)-2(y^2)]dxdy,其中D为以原点为中心，R为半径的圆

求二重积分(D)e^[-2(x^2)-2(y^2)]dxdy,其中D为以原点为中心，R为半径的圆

解;做极坐标变换:
令x=Rcosw,y=Rsinw,
则;0<=w<=2pai,0<=r<=R

二重积分(D)e^[-2(x^2)-2(y^2)]dxdy
=积分:(0,2pai)dw积分:(0,R)e^(-2r^2)rdr
=积分:(0,2pai)dw积分:(0,R)-1/4*e^(-2r^2)d(-2r^2)
=积分:(0,2pai)dw[-1/4*e^(-2r^2)](0,R)
=积分:(0,2pai)1/4(1-e^(-2R^2))dw
=pai/2*(1-e^(-2R^2)